En 1904 se fue a estudiar a Ginebra, y de aquí paso a Viena, donde se instaló definitivamente y se doctoró en Leyes.
Su primer torneo internacional de importancia fue el de Núremberg de 1906, donde quedó en el primer puesto. Desde entonces, y hasta la primera guerra mundial, obtuvo muy buenos resultados: Tercero en Viena en 1913, segundo en Budapest en 1913, segundo en Baden-Baden en 1914.
Tras la primera guerra mundial reanudó su carrera ajedrecística. En 1920 ganó el torneo de Viena, quedó cuarto en Gotemburgo y segundo en Berlín. En 1923 venció el memorial Schlechter en Viena. Para entonces ya se había instalado en París, donde permaneció el resto de su vida, excepto el período de la ocupación nazi, cuando luchó en el ejército de la Francia libre.
Representó a Polonia en las seis Olimpiadas celebradas entre 1930 y 1939, a pesar de no saber hablar polaco.
Hasta 1935 continuó cosechando éxitos: Bartfeld 1926, Gante 1926, Hastings 1925-26, Niendorf 1927, Londres 1927, Hastings 1927-28, Niza 1930, Lieja 1930, Varsovia 1935 y Lodz 1935. Se nacionalizó francés y representó a Francia en la Olimpiada de Dubróvnik de 1950. Sin embargo ya no participaba asiduamente en torneos, aunque parece que el paréntesis de la guerra no había afectado a su juego. Ganó los torneos de Hastings de 1945-46, Venecia de 1947 y Beverwijk 1949, y obtuvo la cuarta plaza en el torneo de Budapest de 1948.
Tartákover fue un jugador extraordinario pero muy irregular, ya que desaprovechó muchas partidas decisivas por tratar experimentar jugadas originales. Ha sido una de las figuras más cultas y sobresalientes del ajedrez. Su «Breviario de ajedrez» le reportó fama de comentarista agudo y divertido, no hay más que ver las frases que se le atribuyen.
«La táctica consiste en saber que hacer cuando hay algo que hacer. La estrategia, en saber que hacer cuando no hay nada que hacer».
«En ajedrez gana quien comete el penúltimo error».
«El ajedrez subsiste por sus errores».
«Combinación de ajedrez: una proyección en el espacio».
«Siempre es mejor sacrificar los hombres de tu adversario».
«Cometo errores... ¡Luego existo!».
«El táctico debe saber lo que hacer cuando hay algo que hacer; el estratega debe saber qué hacer cuando no hay nada que hacer».
«Una combinación, y lo imposible se hace posible. Es una chispa divina, como un meteoro que ilumina la partida de ajedrez».
«A veces los caballos no saltan, botan. El momento más importante de la partida es el primer movimiento del alfil...».
«Nunca se gana (o se salva) una partida que se abandona».
«Mas vale una partida de Capablanca que una monografía del más inteligente erudito».
«Si el error no existiera, debería inventarse».
«Los errores están en el tablero esperando a que los cometas».
«En el gambito se cede un peón a cambio de una partida perdida».
«El enroque es el mejor camino a una vida ordenada».
«El vencedor de una partida es el que comete el penúltimo error».
«Sólo un jugador fuerte sabe cuán débil es su juego».
«Nunca derroté a un oponente sano».
«¿Le molesta cuando un oponente inferior no abandona cuando Ud. tiene pieza de ventaja? No, para nada. Me molesta solo cuando soy yo quien tiene la pieza de menos».
«La jugada más importante en ajedrez, como en la vida, es aquélla que ya hemos realizado».
«Del ajedrez, ese juego de cálculo por excelencia, forman parte la suerte, la suerte y la suerte».
«En la primera fase de la partida tratas de conseguir ventaja; en la segunda, de consolidarla; en la tercera, sabes que perderás...».
«Los siete pecados capitales del ajedrez son: Superficialidad, Voracidad, Pusilanimidad, Inconsecuencia, Dilapidación de tiempo, Bloqueo, Excesivo amor a la paz».
«Toda partida tiene tres fases: en la primera uno espera contar con una ventaja: en la segunda uno cree que posee una ventaja; en la tercera uno sabe con seguridad que perderá».
«Solamente un jugador fuerte sabe cuales don sus puntos flacos».
«El gambito en el ajedrez es el: come-mientras-puedas».
«No hay que contar el tiempo, sino pesarlo».
«Del ajedrez no se puede vivir, pero se puede morir».
«Hay jugadas acariciadoras, ruidosas y gemebundas. Las últimas son las más peligrosas».
«Los errores existen para ser cometidos».
«Solo un jugador fuerte sabe cuán débil es su juego».
«Su juego ganó en profundidad, pero su pensamiento se oscureció». (Se refiere a Akiba Rúbinstein).
«Quien asume riesgos puede perder; pero quien no los asume, pierde siempre».
«Capablanca gano el torneo de Londres de 1922 porque es el campeón del mundo; Lasker el de Nueva York de 1924, como si fuese todavía el campeón del mundo, pero Aliojin ganó el torneo de Baden-Baden como un verdadero campeón del mundo».
«En sus composiciones la dificultad práctica, la profundidad lógica y la realización artística de cualquier idea, maravillosa por el trabajada, se estrechan las manos fraternalmente, de tal manera que uno se siente inclinado a considerarle como el fundador del movimiento neoeslavo de finales». (Se refiere a Reti).